Elementos de la hipérbola En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación: Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
- Focos: Son los puntos fijos F y F'.
- Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
- Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
- Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
¿Cuál es la definición de la hipérbola?
La hipérbola es una curva abierta de dos ramas, cuya definición matemática es la siguiente:
¿Cuál es el eje de la hipérbola?
La hipérbola puede ser vertical u horizontal dependiendo del eje focal y del eje normal.
¿Cuál es la ecuación de las hipérbolas?
Es decir que su ecuación puede ser de la forma: Dos hipérbolas son conjugadas una de la otra si el eje real de cada una de ellas es igual al eje imaginario de la otra. En términos analíticos se las reconoce porque los signos están cambiados, y los coeficientes de x y de y siguen siendo los mismos en términos absolutos.
¿Dónde está el centro de la hipérbola?
El centro de la hipérbola está ubicado a mitad de camino entre los puntos llamados focos. Está asociada con dos rectas muy particulares llamadas asíntotas, que son líneas a las cuales la hipérbola se aproxima, pero sin cruzarlas, cuando los valores de x e y son muy grandes.
¿Qué es la hipérbola y cuáles son sus elementos?
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
¿Cómo se representa una hipérbola?
El centro de la hipérbola es: (-b, a) Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
¿Cuáles son las propiedades de la hipérbola?
PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA: Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real.
¿Qué es una hipérbole y un ejemplo?
En este sentido, esta figura literaria puede ser utilizada como un recurso enfático, expresivo, irónico o humorístico. Por ejemplo: “Tenía tanto sueño que se quedaba dormido de pie”. La hipérbole exagera o trasciende lo verosímil deliberadamente para subrayar o enfatizar algo, para hacerlo más interesante o atípico.
¿Cuáles son las propiedades de la elipse?
PROPIEDADES DE LA ELIPSE: La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen un lugar geométrico que tienen la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.
¿Cuáles son las propiedades de la parábola?
PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA: Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y es perpendicular a la directriz.
¿Cuáles son los focos de la hipérbola?
Focos de una hipérbola Los focos de la hipérbola son dos puntos. Respecto de ellos, permanecen constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipérbola.
Qué es una hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, cuya diferencia de distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos llamados focos, es constante e igual a 2a (siendo 2a la longitud del eje real de la hipérbola).
Excentricidad de la hipérbola
Las ramas de las hipérbolas pueden ser más abiertas o más cerradas. Esta característica se mide mediante la excentricidad de la hipérbola, que es el cociente entre la entre la semidistancia focal «c» y el semieje real «a»:
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen
La ecuación de la hipérbola con centro en el origen se obtiene a partir de calcular la distancia de un punto cualquiera a los focos, lo cual no voy a demostrar aquí. Operando y reordenando términos se llega a la siguiente expresión que se corresponde con la ecuación de la hipérbola:
Asíntotas de la hipérbola
En una hipébola, podemos trazar infinitas rectas que pasen por el origen. Unas cortarán a la hipérbola en dos puntos y otras no cortarán a la hipérbola:
Ejercicios resueltos sobre la hipérbola
Halla las coordenadas de los focos, las longitudes de los semiejes, las coordenadas de los vértices, la excentricidad y las asíntotas de las siguientes hipérbolas:
Ecuación de la hipérbola
Existen varios tipos de ecuaciones de la hipérbola, ya que dependiendo de sus propiedades se usa una u otra para expresarla matemáticamente. A continuación vamos a analizar cada una detalladamente.
Asíntotas de la hipérbola
Com has podido ver en los gráficos anteriores, toda hipérbola tiene dos asíntotas. Recuerda que una asíntota es una línea recta que se aproxima mucho a una función pero nunca llega a cruzarla ni a tocarla.
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad de una hipérbola es un parámetro característico que determina cuánto de abierta o cerrada es. Numéricamente, la excentricidad de una hipérbola se calcula dividiendo su semidistancia focal entre su semieje real:
Ecuaciones de la hipérbola en coordenadas rectangulares
La ecuación de la hipérbola que abre hacia la derecha e izquierda tiene la peculiaridad de que el signo de la fracción que contiene a las y ’s va a ser negativo:
Pendientes de las asíntotas de la hipérbola
El cálculo de las pendientes de las asíntotas es muy sencillo, dividiremos la longitud del segmento vertical entre la longitud del segmento horizontal:
Punto de la hipérbola hacia los dos focos
Puedes hacer rápido esta demostración agarrando como P cualquier vértice de la hipérbola y verás fácilmente que se demuestra la fórmula P F – P F ′ = ± 2 a. Intenta tomando el vértice ( 4, 5).
Gráfica de la hipérbola 2
En la Gráfica de la hipérbola 1 (que es la de nuestro ejemplo) si mencionamos al eje mayor tomaremos al segmento A ′ A ―, y si mencionamos al eje menor tomaremos al segmento B ′ B ―, hasta ahorita vamos bien. ¿Pero que pasaría si te digo que tomes el eje mayor de la Gráfica de la hipérbola 2? El eje mayor ahora ya no es A ′ A ―, ¿verdad?
Elementos notables
Vamos a comenzar por la circunferencia principal de la hipérbola. Ésta sería la circunferencia de radio a que tiene su centro en O. Se define como el lugar geométrico de los pies de las rectas que pasan por uno de los focos y son perpendiculares a las rectas tangentes de la hipérbola opuesta.
Construcción de la hipérbola conocidos el eje real y un punto de la misma
Para éste tipo de problemas el eje real AB y un punto de la hipérbola, pero desconocemos los focos. Para entendernos, nuestro punto de partida será algo similar a ésto.
Dibujar una hipérbola equilátera sabiendo los focos
En éste tipo de ejercicios, los datos que conoces son tan solo los focos de la hipérbola, y el hecho de que se trata de una hipérbola equilátera. En este caso la peculiaridad de esta construcción es que el eje real y el eje imaginario miden exactamente lo mismo, formando un cuadrado cuyo centro es el centro de la hipérbola.
Trazado de la hipérbola por envolventes
Dados el eje real AB y los focos F y F’ construimos la circunferencia principal de centro O. Llegados a éste punto, solo tendremos que marcar puntos sobre la circunferencia principal, de forma proporcional o aleatoria (da igual).
Elementos de Una Hipérbola
Ecuación de La Hipérbola
- Los siguientes son los elementos fundamentales de una hipérbola: 1. Focos 2. Eje transversal 3. Eje conjugado 4. Semieje mayor 5. Semieje menor 6. Centro 7. Vértices 8. Longitud focal 9. Ejes de simetría 10. Asíntotas
Asíntotas de La Hipérbola
Excentricidad de La Hipérbola
Ejercicios Resueltos de Hipérbolas
- Existen varios tipos de ecuaciones de la hipérbola, ya que dependiendo de sus propiedades se usa una u otra para expresarla matemáticamente. A continuación vamos a analizar cada una detalladamente. Primero de todo, tenemos la ecuación ordinaria de la hipérbola. En segundo lugar, veremos una variante de la ecuación ordinaria, se trata de la ecuación reducida o canónic…