În matematică, o metrică sau funcție distanță este o funcție care definește o distanță (d) între fiecare pereche de elemente ale unei mulțimi. O mulțime împreună cu o metrică asociată formează un spațiu metric. Metrica induce o topologie pe mulțime, dar nu toate topologiile pot fi generate de o metrică.
Full Answer
¿Qué es una métrica en matemáticas?
En matemáticas, una métrica o función distancia es una función que define una distancia entre cada par de elementos de un conjunto. Un conjunto en el que se ha definido una métrica se denomina espacio métrico. Toda métrica induce una topología sobre un conjunto, aunque no toda topología se puede generar a partir de una métrica.
¿Qué es una métrica sobre un conjunto?
Una métrica sobre un conjunto X es una función (llamada función distancia o simplemente distancia ) donde [0,∞) es el conjunto de los números reales no-negativos, tal que, para cualesquiera que sean x, y, z de X, se satisfacen las siguientes condiciones: d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) ( desigualdad triangular ).
¿Qué es una métrica ultramétrica?
Una métrica se denomina ultramétrica si satisface una versión más fuerte de la desigualdad triangular, donde los puntos no pueden estar unos en medio de los otros: para cualesquiera que sean x, y, z de X .
¿Cuál es la diferencia entre métrica y metrizable?
Toda métrica induce una topología sobre un conjunto, aunque no toda topología se puede generar a partir de una métrica. Un espacio topológico cuya topología se puede describir mediante una métrica se denomina metrizable.
Notas
Estas condiciones expresan nociones intuitivas sobre el concepto de distancia . Por ejemplo, que la distancia entre puntos distintos es positivo y la distancia desde x a y es la misma que la distancia de y a x .
Métrica inducida por norma
Las normas sobre espacios vectoriales son equivalentes a ciertas métricas, a saber, las homogéneas, invariantes en la traducción. En otras palabras, cada norma determina una métrica y algunas métricas determinan una norma.
Métricas en multisets
Podemos generalizar la noción de métrica desde una distancia entre dos elementos hasta una distancia entre dos conjuntos de elementos finitos no vacíos. Un conjunto múltiple es una generalización de la noción de conjunto tal que un elemento puede aparecer más de una vez.
Métricas generalizadas
Existen numerosas formas de relajar los axiomas de la métrica, dando lugar a diversas nociones de espacios métricos generalizados. Estas generalizaciones también se pueden combinar. La terminología utilizada para describirlos no está completamente estandarizada.
What is a metric tensor?
In differential geometry, one considers a metric tensor, which can be thought of as an "infinitesimal" quadratic metric function. This is defined as a nondegenerate symmetric bilinear form on the tangent space of a manifold with an appropriate differentiability requirement. While these are not metric functions as defined in this article, they induce what is called a pseudo-semimetric function by integration of its square root along a path through the manifold. If one imposes the positive-definiteness requirement of an inner product on the metric tensor, this restricts to the case of a Riemannian manifold, and the path integration yields a metric.
What are the axioms of a metametric?
In a metametric, all the axioms of a metric are satisfied except that the distance between identical points is not necessarily zero. In other words, the axioms for a metametric are:
What is quasimetric function?
Occasionally, a quasimetric is defined as a function that satisfies all axioms for a metric with the possible exception of symmetry:. The name of this generalisation is not entirely standardized.
What is pseudometric on X?
A pseudometric on X is a function#N#d : X × X → R {displaystyle d:Xtimes Xto mathbb {R} }#N#which satisfies the axioms for a metric, except that instead of the second (identity of indiscernibles) only d ( x, x) = 0 for all x is required. In other words, the axioms for a pseudometric are:
Is pseudometrics standardized?
The terminology used to describe them is not completely standardized. Most notably, in functional analysis pseudometrics often come from seminorms on vector spaces, and so it is natural to call them "semimetrics". This conflicts with the use of the term in topology .
Distanze su spazi euclidei
La distanza normalmente considerata in R 2 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^ {2}} è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Dischi associati a una distanza
Data una distanza su un insieme, si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto c {\displaystyle c} di un certo raggio r {\displaystyle r} positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da c {\displaystyle c} meno di r {\displaystyle r} :
Definizione
Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} di elementi, dove X {\displaystyle X} è un insieme e d {\displaystyle d} una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} di X {\displaystyle X} un numero reale non negativo d ( x , y ) {\displaystyle d (x,y)} in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di x , y , z {\displaystyle x,y,z} in X {\displaystyle X} :.
Proprietà
Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica .
Distanza tra punti e insiemi e tra insiemi
Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come
Descrição geral
En matemáticas, una métrica o función distancia es una función que define una distancia entre cada par de elementos de un conjunto. Un conjunto en el que se ha definido una métrica se denomina espacio métrico. Toda métrica induce una topología sobre un conjunto, aunque no toda topología se puede generar a partir de una métrica. Un espacio topológico cuya topología se puede describir media…
Métricas equivalentes
Definição
Métrica induzida por uma norma
Dadas as métricas e no mesmo conjunto , escreveremos, por simplicidade, , , igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica . Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas ou respectivamente.
Consideremos que é mais fina que , e escreveremos , quando a aplicação identidade for contínua. Como para todo , a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficie…
Limitação
Dado um conjunto , uma métrica em é uma função
que possui as seguintes propriedades:
• É positivamente definida, ou seja, é tal que
para todos os .
• É simétrica, ou seja, é tal que
Convergência
Seja uma norma em um espaço , então pode-se definir uma métrica neste espaço por:
Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.
Completeza
Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.